2.8. Заключение. Корректность постановки задач
математической физики
Уравнения гиперболического и параболического типов возникают
чаще всего при изучении процессов, протекающих во времени (мы
рассматривали уравнения колебаний, распространения тепла, диффузии).
В одномерном случае всегда участвовала одна координата
и время
Для задач, приводящих к таким уравнениям, дополнительные условия
разделяются на начальные и краевые.
Начальные условия состоят в задании при
значений искомой
функции
и ее производной (в гиперболическом случае) или только
значений самой функции (в параболическом случае).
Краевые условия для этих задач заключаются в том, что указываются
значения неизвестной функции
на концах интервала изменения
координаты (в задаче о колебаниях струны это концы струны, в задаче о
линейной теплопроводности это концы стержня и т. д.).
Если процесс протекает в бесконечном интервале изменения
координаты
(бесконечная струна, бесконечный стержень), то краевые
условия отпадают и получается задача только с начальными условиями
(задача Коши).
Если ставится задача для конечного интервала, то должны быть
заданы и начальные, и краевые условия. Тогда говорят о смешанной
задаче.
Уравнения эллиптического типа возникают обычно при исследовании
стационарных процессов. Время
в эти уравнения не входит, и
независимые переменные являются координатами точки. Такими
оказываются уравнения стационарного температурного поля,
электростатического поля и уравнения многих других физических
процессов.
Для задач такого типа ставятся только краевые условия, т. е.
указывается поведение неизвестной функции на контуре области. Это
может быть задачей Дирихле, когда заданы значения самой функции;
задачей Неймана, когда заданы значения нормальной производной
искомой функции, и, наконец задачей, когда на контуре задана линейная
комбинация функции и ее нормальной производной.
В основных задачах математической физики именно физические
соображения «подсказывают», какие дополнительные условия следует
поставить в той или иной задаче, чтобы получить единственное ее
решение, отвечающее характеру изучаемого процесса.
Все выведенные уравнения носят идеализированный характер, т. е.
отражают лишь наиболее существенные черты процесса. Функции,
входящие в начальные и краевые условия, в физических задачах
определяются по экспериментальным данным и могут считаться
